১৫৩ এর রহস্য
গণিতের অবাক করা অসংখ্য বিষয়ের মাঝে একটি সংখ্যা ১৫৩-
► ১৫৩ একটি ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার (Triangular Number) ।
১ থেকে ১৭ পর্যর্ন্ত সংখ্যাগুলি পরপর যোগ করলে যে যোগফল পাওয়া যায় তা হচ্ছে ১৫৩। এই জন্য ১৫৩-কে সপ্তদশ ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার বলা হয়।
কিন্তু আরো মজার বিষয় হচ্ছে ১৫৩ এর প্রথম অঙ্ক ১ নিজে একটি Triangular Number। আবার প্রথমদুটি অঙ্ক ১৫-ও একট Triangular Number। ১৫৩ যে একটি ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার সে কথা তো প্রথমেই বলেছি।
যেমনঃ ১ = ১
১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ = ১৫
১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭ + ৮ + ৯ + ১০ + ১১ + ১২ + ১৩ + ১৪ + ১৫ + ১৬ + ১৭ = ১৫৩
► ১৫৩-এর প্রথম অঙ্ক ১, প্রথম দুটি অঙ্ক ১৫ এবং তিনটি অঙ্ক ১৫৩ প্রপর যদি লিখি তাহলে একট প্রাইম সংখ্যা পাওয়া যাবে।
যেমনঃ ১১৫১৫৩ একটি প্রাইম সংখ্যা।
► ১৫৩ একটি রিভ্যারর্সিবল ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার (Revarsuval triangular number) ।
কেন? কারণ ১৫৩কে উল্টে লিখলে পাই ৩৫১, আর ১ থেকে ২৬ পর্যন্ত সংখ্যাগুলি পরপর যোগ করলে যে যোগফল পাওয়া যায় তাও হচ্ছে ৩৫১।
যেমনঃ ১+২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+১০+১১+১২+১৩+১৪+১৫+১৬+১৭+১৮+১৯+২০+২১+২২+২৩+২৪+২৫+২৬ = ৩৫১।
যেহেতু ১৫৩ এবং তার উল্টো সংখ্যা ৩৫১ দুটিই ট্রায়ঙ্গুলার নাম্বার তাই ১৫৩কে রিভ্যারর্সিবল ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার বলে।
► প্রথম পাঁটি সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল (Factorials)এর যোগফল আমাদের এই ১৫৩ এর সমান। ফ্যাক্টরিয়ালকে “!” চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ
১ এর ফ্যাক্টরিয়াল = ১! = ১
২ এর ফ্যাক্টরিয়াল = ২! = ১×২ = ২
৩ এর ফ্যাক্টরিয়াল = ৩! = ১×২×৩ = ৬
৪ এর ফ্যাক্টরিয়াল = ৪! = ১×২×৩×৪ = ২৪
৫ এর ফ্যাক্টরিয়াল = ৫! = ১×২×৩×৪×৫ = ১২০
আর তাই, ১!+২!+৩!+৪!+৫! = ১+২+৬+২৪+১২০ = ১৫৩।
► ১৫৩-কে যদি ৯৯৯ দিয়ে ভাগ করি তাহলে কি পাওয়া যাবে?
যেমনঃ (১৫৩ ÷ ৯৯৯) = ০.১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ...
মজার তাই না।
► ১৫৩ সংখ্যাটির ফ্যাক্টর অর্থাৎ যেসব সংখ্যা দিয়ে ১৫৩ সংখ্যাটিকে নিঃশেষে ভাগ করা যায় সেগুলো হচ্ছে ১, ৩, ৯, ১৭, ৫১ ও ১৫৩। এবার ১৫৩-কে বাদ দিয়ে বাকি ফ্যাক্টরগুলির যোগফল একটি perfect square বা পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
যেমনঃ ১ + ৩ + ৯ + ১৭ + ৫১ = ৮১ = ৯^২
এখানেই শেষ নয়, এই ১৫৩ সংখ্যাটির অঙ্ক তিনটির যোগফলের বর্গ ও কিন্তু একই পূর্ণ বর্গসংখ্যা
যেমনঃ (১+৫+৩) ^২ = ৮১ = ৯^২
আবার, ১৫৩ সংখ্যাটির অঙ্ক তিনটির যোগফলো একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
যেমনঃ ১ + ৫ + ৩ = ৯ = ৩^২৷
► ১৫৩ সংখ্যাটিকে যে সমস্ত সংখ্যা দিয়ে ভাগকরা যায় অর্থাৎ ফ্যাক্টরগুলির সমস্টি হচ্ছে ২৩৪।
যেমনঃ ১+৩+৯+১৭+৫১+১৫৩ = ২৩৪।
আবার, ১৫৩ সংখ্যাটির সব কটি অঙ্কের যোগফল ১+৫+৩ = ০৯
সেই সাথে ২৩৪ সংখ্যাটির সব কটি অঙ্কের যোগফলো কিন্তু ২+৩+৪ = ০৯
উপরের ২৩৪-এর পরে যদি যোগফল ০৯-কে বসিয়ে দিই তাহলে পাওয়া যাবে ২৩৪০৯ যা কিনা ১৫৩-এর ফ্যাক্টরগুলির গুণফল। বিশ্বাস হচ্ছে না? দেখুন তাহলে।
যেমনঃ ১×৩×৯×১৭×৫১×১৫৩ = ২৩৪০৯।
► দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর হিসেবে ১৫৩-কে পাওয়া যাবে যখন ক্রমিক সংখ্যাদ্বয় হবে ৭৬ ও ৭৭।
যেমনঃ (৭৭^২ - ৭৬^২) = ১৫৩
► ১৫৩ সংখ্যাটির উল্টো সংখ্যাটি হচ্ছে ৩৫১৷ আর এ সংখ্যা দুটির যোগফল (১৫৩+৩৫১) = ৫০৪৷ আবার ৫০৪ এর বর্গকে প্রকাশ করা যায় পরস্পর উল্টো দুটি সংখ্যার গুণফল হিসেবে।
যেমনঃ ৫০৪^২ = (২৮৮ × ৮৮২)৷
► যেসকল সংখ্যা তার অঙ্কগুলোর সমষ্টি বা যোগফল দিয়ে বিভাজ্য সে সংখ্যাগুলোকে বলা হয় হরশাদ নাম্বার (Harshad Number)। এই হিসেবে আমাদের ১৫৩ একটি হরশাদ নাম্বার (Harshad Number)।
যেমনঃ ১৫৩ ÷ (১+৫+৩)=১৭
আবার ১৫৩ একটি নিভেন নাম্বার (Niven Number) ও। কারণ যেসকল হরশাদ নাম্বারকে উল্টালে আরেকটি হরশাদ নাম্বার পাওয়া যায় তাদেরকে নিভেন নাম্বার বলে।
যেমনঃ ১৫৩-কে উল্টালে পাই ৩৫১। এখন ৩৫১ ÷ (৩+৫+১) = ৩৯।
অর্থাৎ ১৫৩ সংখ্যাটিকে আমরা বলতে পারি রিভার্সিবল হরশাদ নাম্বার অথবা রিভার্সিবল নিভেন নাম্বার (Reversible Harshad number বা Reversible Niven Number)৷
► ১৫৩ একটি Friedman number। সেই সমস্ত সংখ্যাকেই Friedman number বলা হয় যে সমস্ত সংখ্যার নিজস্ব অঙ্কগুলিকে ব্যবহার করে সেই সংখ্যাটিকে তৈরি করা যায়। এই সংখ্যা তৈরির ক্ষেত্রে চারটি গাণিতিক চিহ্ন (+, −, ×, ÷) ব্যবহার করতে হয়। অবশ্য চাইলে অঙ্কগুলিকে পাওয়ার হিসেবেও ব্যবহার করা যায়।
যেমনঃ ১৫৩ = ৫১ × ৩ (এক্ষেত্রে পাওয়ার করার প্রয়োজন হয়নি)
► ১৫৩ সংখ্যাটির অঙ্ক একটু ওলটপালট করে লিখে আমরা তৈরি করতে পারি ১৩৫। এবার এই ১৩৫-কে প্রকাশ করা যাবে এভাবেঃ ১৩৫ = ১^১ + ৩^২ + ৫^৩ ।
► আমরা ১৫৩ সংখ্যাটির অঙ্কগুলো ওলটপালট করে মোট ৬টি সংখ্যা তৈরি করতে পারবো। ১৫৩, ১৩৫, ৫১৩, ৫৩১, ৩৫১, ৩১৫। এবার মজার বিষয় হচ্ছে এই ৬টি সংখ্যা দিয়ে চমৎকার একটি Equation তৈরি করা যায়।
যেমনঃ ১৫৩ + ৩১৫ + ৫৩১ = ৩৫১ + ১৩৫ + ৫১৩।
অর্থাৎ
১৫৩ + ৩১৫ + ৫৩১ = ৯৯৯
৩৫১ + ১৩৫ + ৫১৩ = ৯৯৯
এরই সাথে আর একটু মজা যোগ কারা যায় যদি সংখ্যাগুলিকে এভাবে বসাই-
১৫৩ + ৫১৩ = ৬৬৬
৩১৫ + ৩৫১ = ৬৬৬
১৩৫ + ৫৩১ = ৬৬৬
মজার তাই না?
► Equation এর কথা যখন আসলোই তখন ১৫৩-এর আরো একটি Equation দেখাই।
যেমনঃ ১^০ + ৫^১ + ৩^২ = ১ × ৫ × ৩
► যে সমস্ত সংখ্যার প্রতিটি অংকের কিউবের (Cube) বা ঘনফলের যোগফল মূল সংখ্যারটির সমন হয় সেই সমস্ত সংখ্যাকেই হ্যাপি কিউব বলে। এই হিসেবে ১৫৩ একটি হ্যাপি কিউব (Happy Cube)।
যেমনঃ ১৫৩ = ১^৩+ ৫^৩+ ৩^৩ = ১ + ১২৫ + ২৭ = ১৫৩।
হ্যাপি কিউব পরিবারের সর্ব কনিষ্টতম সদস্য আমাদের এই ১৫৩ ভায়া। অর্থাৎ ১৫৩ এর চেয়ে বড় হ্যাপি কিউব আরো রয়েছে। আপনি খুঁজে বের করতে পারবেন একটি??
► শেষ করবো এই হ্যাপি কিউবের কথা দিয়েই। হ্যাপি কিউব (Happy Cube) এর প্রক্রিয়াটাতো দেখলেনই। এবার যে কোনো একটি সংখ্যা আপনি নিন যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য। এবার এই সংখ্যাটিকে অব্যাহতভাবে বার বার হ্যাপি কিউবের প্রক্রিয়া করতে থাকুন। একসময় আপনি অবশ্যই ১৫৩ সংখ্যাটি পেয়ে যাবেন। আর যখনই ১৫৩-কে পেয়ে যাবেন তখনই আপনার সামনে আগানোর পথ বন্ধ হয়ে যাবে, অর্থাৎ হ্যাপি কিউব প্রক্রিয়া বন্ধ হয়ে যাবে। কারণ ১৫৩-কে হ্যাপি কিউব করলে ১৫৩-ই পাওয়া যায়।
তাহলে একটা উদাহরন দেখা যাক। শুরু করি ..... ২৪ দিয়ে কেমন,
২৪
২^৩ + ৪^৩ = ৮ + ৬৪ = ৭২
৭^৩ + ২^৩ = ৩৪৩ + ৮ = ৩৫১
৩^৩ + ৫^৩ + ১^৩ = ২৭ + ১২৫ + ১ = ১৫৩
চমৎকার, মাত্র তিনবার চেষ্ঠাকরেই ১৫৩-কে পেয়ে গেছি।
এবার ৮১০ দিয়ে চেষ্ঠা করে দেখি, কি বলেন?
৮১০
৮^৩ + ১^৩ + ০^৩ = ৫১২ + ১ + ০ = ৫১৩
৫^৩ + ১^৩ + ৩^৩ = ১২৫ + ১ +২৭ = ১৫৩
এবার মাত্র দুইবারের চেষ্ঠাতেই ১৫৩-তে পৌছে গেছি।
এই রকম অজস্র সংখ্যা নিয়ে বার বার চেষ্ঠা করে দেখা গেছে ১০^৫ বা ১,০০,০০০-এর চেয়ে ছোট কিন্তু ৩ দ্বারা বিভাজ্য সকল সংখ্যাই হ্যাপি কিউব প্রক্রিয়ায় ১৫৩-তে পৌঁছাতে সর্বোচ্চ ১৪ বার চেষ্ঠা করতে হতে পারে। আর সংখ্যাটি ১০,০০০-এর থেকে ছোট ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে চেষ্ঠা করতে হবে সর্বোচ্চ ১৩ বার। যদি কোনো সংখ্যা থেকে হ্যাপি কিউব প্রক্রিয়ায় ১৫৩-তে পৌছাতে ১৫ বার চেষ্ঠা করতে হয় তবে সেই সংখ্যাটি হবে ১০০০০০০০০০০০০০০০০০০০-এর চেয়ে বড়। কিন্তু দূর্ভাগ্যবসত যদি ১৫৩-তে পৌছাতে ১৬ বার চেষ্ঠা করতে হয় তবে সেই সংখ্যাটি হবে ১০^৬১০৪২৫২৪০০৫৪৮৬৯৬৮ -এর চেয়ে বড়। অর্থাৎ ১-এর পর ৬১০৪২৫২৪০০৫৪৮৬৯৬৮-গুলি শূন্য বসালে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তার চেয়েও বড়।
ছোট্ট একটা চার্ট দিচ্ছি, নিজেরা চেষ্ঠা করে দেখেন মিলাতে পারেন কিনা।
১ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১৩৫ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
২ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১৮ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৩ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৩ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৪ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৯ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৫ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১২ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৬ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৩৩ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৭ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১১৪ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৮ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৭৮ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৯ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১২৬ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
১০ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৬ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
১১ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১১৭ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
১২ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৬৬৯ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
১৩ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১৭৭ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
১৪ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১২৫৫৮ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
"আশ্চর্য কিছু ক্রমিক সংখ্যা"
সংখ্যার মাঝে লুকিয়ে আছে নানান ধরনের মজা। কখনো এই সমস্ত মজা আমাদের চোখে পরে আবার কখনো চোখে পরে না। তেমনই একটি সংখ্যার মজা আজ আবার এখানে উপস্থাপন করতে যাচ্ছি। চলুন আমাদের পরিচিত সংখ্যাগুলির মাঝ থেকে এমন কিছু ক্রমিক সংখ্যা খুঁজে বের করি যাদের নিচের উল্লেখিত বৈশিষ্ট রয়েছে।
দুটি ক্রমিক সংখ্যা নিই-১৪ ও ১৫। এবার
১৪ = (২ × ৭) প্রতিটি অংক যোগ করলে (১+৪) + (২+৭) = ১৪।
১৫ = (৩ × ৫) প্রতিটি অংক যোগ করলে (১+৫) + (৩+৫) = ১৪।
আরেকটি উদাহরণ দেখুন ৪৩ ও ৪৪ এর জন্য যেহেতু ৪৩ একটি প্রাইম বা মৌলিক সংখ্যা তাই এই ক্ষেত্রে হবে...
৪৩ = ৪৩ প্রতিটি অংক যোগ করলে (৪+৩) + (৪+৩) = ১৪।
৪৪ = (২ × ২ × ১১) প্রতিটি অংক যোগ করলে (৪+৪) + (২+২+১+১) = ১৪।
প্রথম উদাহরণ থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি ১৪-এর সর্বশেষ যোগ ফল হয়েছে ১৪ আবার ১৫-এরও সর্বশেষ যোগ ফল হয়েছে ১৪। অন্য দিকে দ্বিতীয় উদাহরণেও আমরা দেখছি যে ৪৩-এর সর্বশেষ যোগ ফল হয়েছে ১৪, তেমনি ভাবে ৪৪-এর সর্বশেষ যোগ ফলও হয়েছে ১৪।
তাহলে কি সকল এই ধরনের এমিক জোড়া সংখ্যার সর্বশেষ যোগ ফল ১৪ই হবে! না তা হবে না। যেমন আমরা যদি ৫০ ও ৫১ কে নিই তাহলে দেখা যাবে....
৫০ = (২ × ৫ × ৫) প্রতিটি অংক যোগ করলে (৫+০) + (২+৫+৫) = ১৭।
৫১ = (৩ × ১৭) প্রতিটি অংক যোগ করলে (৫+১) + (৩+১+৭) = ১৭।
এক্ষেত্রে দুটি সংখ্যারই সর্বশেষ যোগ ফল ১৪ না হয়ে-হয়েছে ১৭।
এখানে উল্লেখ্য যে, প্রতিটি ক্রমিক সংখ্যার যে গুন গুলি করা হয়েছে তার প্রতিটি সংখ্যাই কিন্তু প্রাইম বা মৌলিক সংখ্যা। যেমন উপরের উদাহরণের ৫১ = (৩ × ১৭)। এখানে ৩ ও ১৭ দুটিই মৌলিক সংখ্যা।
এখন প্রশ্ন জাগতে পারে - সমস্ত ক্রমিক সংখ্যারই সর্বশেষ যোগফল কি এভাবে মিলে যাবে? এর উত্তর হবে- না। সব ক্রমিক সংখ্যাই এভাবে মিলে যাবে না। অল্প কিছু সংখ্যাই এভাবে মিলে যাবে। আর যে সমস্ত ক্রমিক সংখ্যার সর্বশেষ যোগ ফল এভাবে সমান হিসেবে দেখানো যায় তাদেরকেই বলে Maris-McGwire-Sosa pair Number, সংক্ষেপে এদেরকে বলা হয় MMS সংখ্যা। এক হাজারের নিচে যে সমস্ত MMS সংখ্যা রয়েছে তারা হচ্ছে-
৭-৮, ১৪-১৫, ৩-৪৪, ৫০-৫১, ৬১-৬২, ৬৩-৬৪, ৬৭-৬৮, ৮০-৮১, ৮৪-৮৫, ১১৮-১১৯, ১২২-১২৩, ১৩৪-১৩৫, ১৩৭-১৩৮, ১৬৩-১৬৪, ১৯৬-১৯৭, ২১২-২১৩-২১৪, ২২৪-২২৫, ২৪১-২৪২, ২৭৩-২৭৪-২৭৫, ২৭৭-২৭৮, ২৭৯-২৮০, ২৮৩-২৮৪, ৩৫১-৩৫২-১৫৩, ৩৭৩-৩৭৪, ৩৭৫-৩৭৬, ৩৯০-৩৯১, ৩৯৮-৩৯৯, ৪২১-৪২২, ৪৫৭-৪৫৮, ৪৬২-৪৬৩, ৪৭৪-৪৭৫-৪৭৬, ৪৮৯-৪৯০, ৪৯৫-৪৯৬, ৫১০-৫১১, ৫১৬-৫১৭, ৫২৩-৫২৪, ৫২৬-৫২৭, ৫৩৭-৫৩৮, ৫৪৭-৫৪৮, ৫৫৫-৫৫৬, ৫৫৮-৫৫৯, ৫৭৭৫৭৮, ৫৮৪-৫৮৫, ৫৯০-৫৯১, ৫৯২-৫৯৩, ৬১৬-৬১৭, ৬৩৮-৬৩৯, ৬৪৪-৬৪৫, ৬৬০-৬৬১, ৬৭৩-৬৭৪, ৬৮৭-৬৮৮, ৬৯১-৬৯২, ৭৩১-৭৩২-৭৩৩, ৭৪৩-৭৪৪, ৭৫৬-৭৫৭, ৭৭৪-৭৭৫, ৭৮৭-৭৮৮, ৭৯৭-৭৯৮, ৮৬০-৮৬১, ৮৭১-৮৭২, ৮৭৮-৮৭৯, ৮৯৫-৮৯৬, ৯০৭-৯০৮, ৯২২-৯২৩, ৯২৮-৯২৯, ৯৪৪-৯৪৫, ৯৪৯-৯৫০, ৯৫৩-৯৫৪, ৯৬৫-৯৬৬, ৯৮৫-৯৮৬, ৯৯৭-৯৯৮।
এতো গেলো জোড়া ক্রমিক সংখ্যার কথা, কিন্তু তিনটি ক্রমিক সংখ্যার বেলায় কি এই রকমের কোনো উদাহরণ আছে? আমার জানা সবচেয়ে ছোটো এমন একটি উদাহরণ হচ্ছে ২১২, ২১৩ ও ২১৪। দেখা যাক.....
২১২ = (২ × ২ × ৫৩) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+১+২) + (২+২+৫+৩) = ১৭।
২১৩ = (৩ × ৭১) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+১+৩) + (৩+৭+১) = ১৭।
২১৪ = (২ × ১০৭) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+১+৪) + (২+১+০+৭) = ১৭।
এধরনের সংখ্যার এর চেয়ে ছোটো কোনো উদাহরণ আপনি খুঁজে পাবেন না। তাই খুঁজতে হলে এর যেয়ে বড় সংখ্যার খুঁজুন।
যেমন আমি আর একটি খুঁজে পেয়েছি
২৭৩ = (৩ × ৭ × ১৩) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+৭+৩) + (৩+৭+১+৩) = ২৬।
২৭৪ = (২ × ১৩৭) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+৭+৪) + (২+১+৩+৭) = ২৬।
২৭৫ = (৫ × ৫ × ১১) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+৭+৫) + (৫+৫+১+১) = ২৬।
এক হাজারের নিচে এরকম MMS সংখ্যা আমি খুঁজে পেয়েছি ৫টি।
২১২-২১৩-২১৪, ২৭৩-২৭৪-২৭৫, ৩৫১-৩৫২-১৫৩, ৪৭৪-৪৭৫-৪৭৬, ৭৩১-৭৩২-৭৩৩।
এখানেই শেষ নয়, আমি যেমন উপরে দুটি ও তিনটি ক্রমিক সংখ্যার উদাহরণ দেখিয়েছি , এমনি ভাবেই এই উদাহরণ ইচ্ছে করলে ৯টি ক্রমিক সংখ্যা পর্যন্ত দেখানো সম্ভব। নিচে একটি চার্ট দিচ্ছি.......
২টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ১৪-১৫।
৩টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ২১২-২১৩-২১৪।
৪টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ৮১২৬- ৮১২৭- ৮১২৮- ৮১২৯।
৫টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ২৪১৯৯৫-২৪১৯৯৬-২৪১৯৯৭-২৪১৯৯৮-২৪১৯৯৯।
৬টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ৩৫৩৯৯৯০-৩৫৩৯৯৯১-৩৫৩৯৯৯২-৩৫৩৯৯৯৩-৩৫৩৯৯৯৪-৩৫৩৯৯৯৫।
৭টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ১৩৩০৮২০-১৩৩০৮২১-১৩৩০৮২২-১৩৩০৮২৩-১৩৩০৮২৪-১৩৩০৮২৫-১৩৩০৮২৬।
৮টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ১২২২২৫৩৩৪৯৩-১২২২২৫৩৩৪৯৪-১২২২২৫৩৩৪৯৫-১২২২২৫৩৩৪৯৬-১২২২২৫৩৩৪৯৭-১২২২২৫৩৩৪৯৮-১২২২২৫৩৩৪৯৯-১২২২২৫৩৩৫০০।
৯টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ৩২৪৯৮৮০৮৭০-৩২৪৯৮৮০৮৭১-৩২৪৯৮৮০৮৭২-৩২৪৯৮৮০৮৭৩-৩২৪৯৮৮০৮৭৪-৩২৪৯৮৮০৮৭৫-৩২৪৯৮৮০৮৭৬-৩২৪৯৮৮০৮৭৭-৩২৪৯৮৮০৮৭৮।
এখানেই নতুন করে আর কিচ্ছু বলার নেই, তবুও আর মাত্র একটি উদাহরণ দিতে চাই, আমার দেখা বিশাল একটি MMS সংখ্যার।
১২৩৪৫৬৭৮৯০১২৩৪৫৬৭৮৯০১২৩৪৫৬ = (২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ১৭ × ৭১ × ২১৮১০৭ × ২৪৪২৫১২৯৪৫৬৪১৫৭) প্রতিটি অংক যোগ করলে
(২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+০+১+২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+০+১+২+৩+৪+৫+৬) + (২+২+২+২+২+২+৩+১+৭+৭+১+২+১+৮+১+০+৭+২+৪+৪+২+৫+১+২+৯+৪+৫+৬+৪+১+৫+৭) = ২২২।
১২৩৪৫৬৭৮৯০১২৩৪৫৬৭৮৯০১২৩৪৫৭ = (২১১ × ১৫৮৮৭ × ৩৬৮২৯০৫৯৩২২৮০১৯০৯০১)
প্রতিটি অংক যোগ করলে (১+২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+০+১+২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+০+১+২+৩+৪+৫+৭) + (২+১+১+১+৫+৮+৮+৭+৩+৬+৮+২+৯+০+৫+৯+৩+২+২+৮+০+১+৯+০+৯+০+১) = ২২২।
আশ্চর্য! একটি সংখ্যা ৬৬৬
“666” খুবই নিরিহ একটি সংখ্যা কিন্তু এই সংখ্যাটিকেই ঘুরিয়ে পেচিয়ে অনেক রকম ভাবে উপস্থাপন করা যায়, তাই করতে যাচ্ছি এখানে। দেখুন........
পবিত্র কুরআনে সর্বমোট 114টি সূরা আছে। এই 114 এর প্রতিটি আংকের যোগফল (1+1+4) = 6। আর কুরআনের আয়াতের সংখ্যা 6666 টি। (কারো কারো মতে এটি সঠিক নয়।)
“বাইবেল” এই ধর্মীয় বইটিতে মোট chapter সংখ্যা 1189। এইখানেও আছে ছয় এর ছড়াছড়ি , বিশ্বাস হচ্ছে না!
1189 = 66 × (6+6+6) + 1। ভাবুন একবার শুধু মাত্র যদি একটা chapter কম থাকতো বাইবেলে তাহলেতো ছয়ে-ছয়ে ছায়লাব হয়ে যেতো!! অথচ এই বাইবেলই কিন্তু 666কে বলেছে the Number of the Beast.
এতোগেলো ধর্মীয় পুস্তকের কথা, এবার আসা যাক গণিতে জগতে। এখানে এই “666” প্রচন্ড ভাবে তার আধিপত্ত বিস্তার করে আছে.....
“666” কে প্রথম তিনটি অংকের 6th power হিসেবে প্রকাশ করা যায়।
666 = (1^6–2^6+3^6)
শুধু তাই নয় 66 ও 6 এর বেলাতেও যথাক্রমে 4th power আর squre হিসেবে দেখানো যায় এভাবে
66 = (3^4−2^4+1^4)
6 = (3^2−2^2+1^2)
“666” কে আবার ছয়টি “6” এর power এর যোগফল হিসাবেও দেখানো যায়।
666 = (6^1+6^1+6^1+6^3+6^3+6^3)
“666” কে Y × (6^2+ n^2) হিসেবে প্রকাশ করা যায় দুই ভাবে।
666 = 18 × (6^2+1^2)
= (6+6+6) × {(6+6+6+6+6+6) + 1^2}
666 = 6! × (6^2+1^2) ÷ (6^2+2^2)
= 6! × {(6+6+6+6+6+6) + 1^2} ÷ {(6+6+6+6+6+6) + 2^2}
এখানে দেখুন
(2×3) = 6 আবার
(2÷3) = 0.6666666666666666666666666666666........
আমরা জানি, পাই
pi = 3.1415926535897932384626433832795
028841971693993751058209749445923
078164062862089986280348253421170
679821480865132823066470938446095
50582231725359...
এখানে দশমিকের পরে ১৪৪ ঘর পর্যন্ত দেখানো হয়েছে। মজার ব্যাপার হচ্ছে ১৪৪ কে আমরা লিখতে পারি চারটি ছয় দিয়ে, দেখুন 144 = (6+6) × (6+6)।
কিন্তু এখানেই শেষ নয় এরচেয়েও মজা লুকিয়ে আছে এখানে। দশমিকের পরের এই ১৪৪ টি অংকের যোগ ফল আমাদের সেই অতিপরিচিত 666। বিশ্বাস হচ্ছে না! দেখুন তাহলে....
1+4+1+5+9+2+6+5+3+5+8+9+7+9+3+2+3+
8+4+6+2+6+4+3+3+8+3+2+7+9+5+0+2+8+
8+4+1+9+7+1+6+9+3+9+9+3+7+5+1+0+5+
8+2+0+9+7+4+9+4+4+5+9+2+3+0+7+8+1+
6+4+0+6+2+8+6+2+0+8+9+9+8+6+2+8+0+
3+4+8+2+5+3+4+2+1+1+7+0+6+7+9+8+2+
1+4+8+0+8+6+5+1+3+2+8+2+3+0+6+6+4+
7+0+9+3+8+4+4+6+0+9+5+5+0+5+8+2+2+
3+1+7+2+5+3+5+9 = 666.
এবার এই সংখ্যা গুলি দেখেন (216, 630, 666) এদের বলা হয় Pythagorean triplet, অর্থাৎ এদেরকে a^2+b^2 = c^2 রূপে প্রকাশ করা যা এভাবে....
(216)^2 + (630)^2 = (666)^2
কিন্তু এখানেই শেষ নয়। এই Pythagorean triplet সংখ্যা তিনটির ভিন্ন রুপ দেখুন....
(6×6×6)^2 + {666 - (6×6)}^2 = (666)^2 শুধুই ছয়ের ছড়াছড়ি।
আরো একটু দেখুন এই Pythagorean triplet সংখ্যার কেরামতি
(3)^2+(4)^2 = (5)^2
= 25। এখন যদি এই 25 কে যদি 6 দিয়ে ভাগ করা যায় তাহলে ......
(25÷6) = 4.166666666666666666666666666666.............
এই একই ঘটনা ঘটে Pythagorean triplet (693, 1924, 2045) এর ক্ষেত্রেও
(693)^2+(1924)^2 = (2045)^2
= 4182025 । এখন যদি এই 4182025 কে 6 দিয়ে ভাগ করি......
(4182025÷6) = 697004.166666666666666666666666666666.............
মিলটা দেখেছেন নিশ্চয়।
আমরা জানি পাই pi = [u]3.141592[/u]65358979323846.........................
এবার দেখুন (355 ÷ 113) = [u]3.141592[/u]9203539823008849557522124
দশমিকের পরে প্রথম 6টি অংক মিলে গেছে। এবার আন্ডারলাইন করা মিলে যাওয়া অংকগুলি যোগ করুন
3.141592 = 3+1+4+1+5+9+2 = 25। এখন যদি এই 25 কে 6 দিয়ে ভাগ করা যায় তাহলে আবার সেই
(25÷6) = 4.166666666666666666666666666666.............
এখানেই শেষ নয়, প্রথম সংখ্যা 355 কে উল্টে লিখে (553) দ্বিতীয় সংখ্যার 113 সাথে যোগ করলে পাওয়া যায় (553+113) = 666.
এখানে দেখুন একটি সংখ্যা 133.335। এই সংখ্যাটিকে যদি উল্টে লিখি তাহলে পাব 533.331। এবার এই দুটি সংখ্যা যোগদিলে পাওয়া যাবে-
(133.335+533.331) = 666.666
প্রথম সাতটি prime (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17) সংখ্যাকে square করে যোগ করলে তাদের যোগফল হবে 666.
2^2+3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2 = 666
এবার দেখুন palindromic primes সিরিসের ক্ষেত্রে, যেখানে prime সংখ্যা গুলি উল্টো দিক থেকে লিখলেও একই থাকে যেমন 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353.... ইত্যাদি।
এবার এই সিরিজের উপরের শেষ দুটি সংখ্যা যোগ করুন (313+353) = 666.
বস খুবই সাধারন একটা সংখ্যা এই 20772199 চলুন একে একটু অসাধারন করার চেষ্ঠা করি।
20772199 = (7×41×157×461)
শুধু মাত্র প্রাইম সংখ্যার গুণফল আকারে প্রকাশ করা হয়েছে। এবার এই প্রাইম সংখ্যাগুলিকে যোগকরে দেখি কিছু হয় কিনা.....
(7+41+157+461 = 666)
আবার (20772199+1) = (2×2×2×5×5×283×367)
এখানেও শুধু মাত্র প্রাইম সংখ্যার গুণফল আকারে প্রকাশ করা হয়েছে। এই প্রাইম সংখ্যাগুলির যোগফলো কিন্তু......
(2+2+2+5+5+283+367) = 666.
প্রথম 666 টি prime সংখ্যার মাঝেও 666 লুকিয়ে আছে, আসুন আমরা খুঁজে বের করি।
(2+3+5+7+11+ ............ +4969+4973) = 1533157 = (23 × 66659)
666 একটি Smith number। সেই সমস্ত সংখ্যাকে Smith number বলে যাদের প্রতিটি অংকের যোগফলের সমস্টি, সেই সংখ্যার প্রতিটি prime factors এর যোগফলের সমষ্টির সমান হয়। যেমন.......
666 এর prime factors গুলি
666 = (2×3×3×37) আবার
(6+6+6) = (2+3+3+3+7)
18 = 18
বিশাল দুটি পরপর প্রাইম সংখ্যা দেখতে পাচ্ছেন নিচে। এদের দুজনের ব্যাবধান (প্রাইম গ্যাপ) মাত্র 666।
(18691113009329 – 18691113008663) = 666
তিনটি প্রইম নাম্বার দিয়েও প্রকাশ করা যায় 666কে।
(2x3^2×37) = 666
আগেই বলা হয়েছে 666 একটি beast number.
এবার দেখুন দুটি beasty palindromic primes:
16661
1000000000000066600000000000001
“666^6 এ সংখ্যাটিতে মোট 6টি 6 রয়েছে।”
উপরের বাক্যটিতে গুনে দেখুন ছয়টি 6 রয়েছে।
আবার, 6666 = 87266061345623616, এই খানে মোট ১৬টি অংক রয়েছে যার মধ্যে ছয়টি 6 পাবেন।
উপরের ১৬টি অংকের মধ্যে প্রথম আটটির যোগফল....
(8+7+2+6+6+0+6+1) = 36 = (6×6) = 6^2 = (6+6+6+6+6+6)
এবং শেষের আটটির যোগফল......
(3+4+5+6+2+3+6+1+6) = 36 = (6×6) = 6^2 = (6+6+6+6+6+6)
এখানেই শেষ নয়, এই ১৬টি অংকের মধ্যে সবকটি 6 এর যোগফল
(6+6+6+6+6+6) = 36 = (6×6) = 6^2 = (6+6+6+6+6+6)
এবং 6 ছাড়া বাকি সবকটির যোগফল সেই একই......
(8+7+2+0+1+3+4+5+2+3+1) = 36 = (6×6) = 6^2 = (6+6+6+6+6+6)
6666 = 87266061345623616 এটা সম্পর্কে শেষ যেটা বলবো তা হচ্ছে.....
এখানে ০ থেকে ৯ পর্যন্ত অংক গুলির মধ্যে শুধুমাত্র ৯ এর স্থান হয়নি, অর্থাৎ ০ থেকে ৮ পর্যন্ত অংক গুলি রয়েছে। শুধু তাই নয় এই পুরো ক্যালকুলেশানের মধ্যেই ৯ আসতে পারেনি।
আবার ০ থেকে ৮ পর্যন্ত অংক গুলি একবার করে নিয়ে যোগ করলে পাই
(0+1+2+3+4+5+6+7+8) = 36 = (6×6) = 6^2 = (6+6+6+6+6+6)
“666” এর 47th power (666^47) এবং 51st power (666^51) যে বিশাল দুটি সংখ্যা পাওয়া যায় সেই সংখ্যা দুটির প্রতিটির বেলাতেই তাদের সব কটি অংকের যোগফল হয় 666, দেখুন.........
666^47 = 504996968442079675317314879840556
477294151629526540818811763266893
654044661603306865302888989271885
967029756328621959466590473394585
6.
(5+0+4+9+9+6+9+6+8+4+4+2+0+7+9+6+7+
5+3+1+7+3+1+4+8+7+9+8+4+0+5+5+6+4+
7+7+2+9+4+1+5+1+6+2+9+5+2+6+5+4+0+
8+1+8+8+1+1+7+6+3+2+6+6+8+9+3+6+5+
4+0+4+4+6+6+1+6+0+3+3+0+6+8+6+5+3+
0+2+8+8+8+9+8+9+2+7+1+8+8+5+9+6+7+
0+2+9+7+5+6+3+2+8+6+2+1+9+5+9+4+6+
6+5+9+0+4+7+3+3+9+4+5+8+5+6) = 666
666^51 = 993540757591385940334263511341295
980723858637469431008997120691313
460713282967582530234558214918480
960748972838900637634215694097683
599029436416.
(9+9+3+5+4+0+7+5+7+5+9+1+3+8+5+9+4+
0+3+3+4+2+6+3+5+1+1+3+4+1+2+9+5+9+
8+0+7+2+3+8+5+8+6+3+7+4+6+9+4+3+1+
0+0+8+9+9+7+1+2+0+6+9+1+3+1+3+4+6+
0+7+1+3+2+8+2+9+6+7+5+8+2+5+3+0+2+
3+4+5+5+8+2+1+4+9+1+8+4+8+0+9+6+0+
7+4+8+9+7+2+8+3+8+9+0+0+6+3+7+6+3+
4+2+1+5+6+9+4+0+9+7+6+8+3+5+9+9+0+
2+9+4+3+6+4+1+6) = 666
এখানে আরো একটু দেখুন এই 47th power এবং 51st power এর 47 ও 51 থেকে কি পাওয়া যায়
(4+7) X (5+1) = 66
এবার দেখুন 666^2 এবং 666^3 এর ক্ষেত্রে কি হয়, দেখুন কিভাবে আবার ফিরে আসে 666.
666^2 = 443556 = (43+43+33+53+53+63) = 621
666^3 = 295408296 = (2+9+5+4+0+8+2+9+6) = 45
এবার (621+45) = 666
এবার আমরা দেখবো কি ভাবে 123456789 এর মাঝে শুধু মাত্র '+' signs ব্যবহার করে 666 তৈরি করবো।
(1+2+3+4+567+89) = 666
(123+456+78+9) = 666
(1234–567+8–9) = 666
আসুন এবার আমরা চেষ্ঠা করি 987654321 এর মাঝে শুধু মাত্র '+' signs ব্যবহার করে 666 তৈরি করা যায় কিনা?
(9+87+6+543+21) = 666 হয়েছে!
Roman numer এর সাথে আমাদের সকলেরই পরিচয় আছে। এখানেও এই 666 আধিপত্ত বিস্তার করতে ছেড়েনি। প্রথম ছয়টি Roman numer যদি বড় থেকে ছোটো ক্রমানুসারে সাজাই তাহলে তাদের যোগফল হবে সেই অতিপরিচিত 666
D+C+L+X+V+I = 666
500+100+50+5+1 = 666
600 একটি Triangular number
1 (১ম Triangular number)
1+2=3 (২য় Triangular number)
1+2+3=6 (৩য় Triangular number)
1+2+3+4=10 (৪র্থ Triangular number)
1+2+3+4+5=15 (৫ম Triangular number)
1+2+3+4+5+6=21 (৬ষ্ঠ Triangular number)
1+2+3+4+5+.....................+35+36 = 600
অর্থাৎ ৩৬তম Triangular number টি হচ্ছে 600. একে প্রকাশ করা হয় এভাবে
T(n) = ( n ) (n+1) ÷ 2
T(36) = (36) (36+1) ÷ 2
T(36) = 666.
তাছাড়া এই 666কে পরপর দুটি Triangular number এর বর্গের যোগ ফল হিসেবেও দেখানো যায়।
T(5)2+T(6)2 = 666
(15)2+(21)2 = 666
(225+441) = 666
এখানে দেখেন,
666 ÷ 64676 = 0.010297482837528604118993135011442
(6×6×6) ÷ (6×46×76) = 0.010297482837528604118993135011442
একই রকমের আরেকটা দেখেন
1666 ÷ 6664 = 0.25
(16×66) ÷ (66×64) = 0.25
1998 সালে United States এর বয়স 1998 - 1776 = 666/3 বছর ছিলো।
এই 1998 = (666+666+666)
অথবা NINETEEN NINETY EIGHT = 666 হবে,
যদি ধরে নেয়া হয় A=3, B=6, C=9.......
তারিখের কথাই যদি আসলো তাহলে এখানে বলতেই হয় Tuesday, 6 June 2006 দিনটির কথা।
হাজার হাজার চাইনিজ যুগল বিবাহ বন্ধনে আবদ্ধ হয়েছিলো এই দিনে। কারণ এই দিনের তারিখে (06/06/06) ছিল তিনটি 6। চীনাদের কাছে 666 একটি lucky number, তাদের মতে '6' হচ্ছে সৌভাগ্য চিহ্ন।অথচ এই 666কেই বাইবেলে উল্লেখ করা হয়েছে the Number of the Beast.
এবার দেখুন
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+5^3+4^3+3^3+2^3+1^3= 666
তাছাড়া দুটি 3 ও দুটি 6 দিয়েও আমরা 666 তৈরি করতে পারি
3 (6^3+6) = 666
এবার যেকোনো তিনটি ক্রমিক অংক নিয়ে একটি সংখ্যা তৈরি করুন, যেমন 123। এই সংখ্যাটির অংকগুলির স্থান বদল করে লিখতে থাকলে মোট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে বলতে পারেন? 6টি।
123, 132, 213, 231, 321, 312। এবার এই 6টি সংখ্যা যোগদিন। যোগফল যাই হোকনা কেন তা অবশ্যই আমাদের সেই আদি সংখ্যা 666 দিয়ে ভাগ করা যাবে......
(123+132+213+231+321+312) = 1332
(1332÷666) = 2
আরো কতো ভাবে যে এই 666কে পাওয়া যায় ছয়ের সাহায্যে
666 = (6+6+6) × 37
666 = (6+6+6) × {666 ÷ (6+6+6)}
666 = (6+6+6) × (6^2+6^0)
666 = (6+6+6) × {(6+6+6+6+6+6) + 6^0}
666 = (6+6+6) × {(6+6+6+6+6+6) + 1}
666 = (6+6+6) × (6+6+6+6+6+6) + 1^6)
জাদুবর্গ ১ : সবকটি প্রাইম সংখ্যা (১ ছাড়া) নিয়ে তার সাথে ৬গুণ করে এই জাদুবর্গ তৈরি করা হয়েছে। এই গুণফলের সমষ্টি প্রতিটি সারি বা কলামে এমনকি কোণাকুণি যোগকরলে হবে 666।
(67×6) (01×6) (43×6)
(13×6) (37×6) (61×6)
(31×6) (73×6) (07×6)
জাদুবর্গ ২ : শুধু মাত্র ১, ২, ৩ এই তিনটি অংক ব্যবহার করা হয়েছে। প্রতিটি সারি বা কলাম এমনকি কোণাকুণি যোগকরলে হবে 666।
(232) (313) (121)
(111) (222) (333)
(323) (131) (212)
জাদুবর্গ ৩ : প্রতিটি সারি বা কলাম এমনকি কোণাকুণি যোগকরলে হবে 666।
320 169 138 039
026 151 208 281
195 294 013 164
125 052 307 182
1 comments:
চুরি করা লেখা।
মূল লেখক "মরুভূমির জলদস্যু"